Question

△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若函數(shù)f（x）=x²+mx-

1

4

為偶函數(shù)，且f（cos

B

2

）=0．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若△ABC的面積為

15 3

4

，其外接圓半徑為

7 3

3

，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）由f（x）為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)得性質(zhì)求出m的值，確定出f（x）解析式，再由f（cos

B

2

）=0，求出cosB的值，即可確定出角B的大�。�
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將sinB與2R代入求出b的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinB以及已知面積相等求出ac的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB的值代入，利用完全平方公式求出a+c的值，即可確定出三角形周長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+mx-

1

4

是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），即x²+mx-

1

4

=x²-mx-

1

4

，
解得：m=0，即f（x）=x²-

1

4

，
又f（cos

B

2

）=0，
∴cos²

B

2

=

1

4

，即

1+cosB

2

=

1

4

，
∴cosB=-

1

2

，
又B∈（0，π），
∴B=

2π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC的外接圓半徑為

7 3

3

，
∴根據(jù)正弦定理

b

sinB

=2R得，

b

sin 2π 3

=

14 3

3

，即b=7，
又S_△ABC=

1

2

acsinB=

15 3

4

，
∴ac=15，
在△ABC中，根據(jù)余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
整理得：a²+c²-15=49，即a²+c²=34，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=64，
∴a+c=8，
則△ABC的周長(zhǎng)等于15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．