Question

9．（1）已知a，b，c＞0，求證：$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c；
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{ab}≥8$．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，可得a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}$≥2a，c+$\frac{^{2}}{c}$≥2b，相加即可得證；
（2）a＞0，b＞0，a+b=1，可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，求得$\frac{1}{ab}$≥4，即可得證．

解答 證明：（1）由a，b，c＞0，可得：
a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}$≥2a，c+$\frac{^{2}}{c}$≥2b，
相加可得（a+b+c）+（$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$）≥2（a+b+c），
即有$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{c}+\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號；
（2）a＞0，b＞0，a+b=1，
可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，即有0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
即為$\frac{1}{ab}$≥4，
即有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{ab}$≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時，取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式和不等式的性質(zhì)，考查運算和推理能力，屬于中檔題．