Question

19．已知圓C過點(diǎn)P（1，4），Q（3，2），且圓心C在直線x+y-3=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：kx-y-2k+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，求直線l的方程及|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解即可；
（Ⅱ）直線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式，得出過定點(diǎn)M（2，1），顯然點(diǎn)M在圓內(nèi)，利用數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線L與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴a+b-3=0，
（1-a）²+（4-b）²=r²，
解得：a=1，b=2，r=2，
∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，
（Ⅱ）直線L的方程可化為y-1=k（x-2），
∴過定點(diǎn)M（2，1），顯然點(diǎn)M在圓內(nèi)，
∴當(dāng)直線L與CM垂直時(shí)，弦|AB|最小，
∵k_cm=-1，
∴k=1，
∴L的方程為x-y-1=0．
∵|CM|=$\sqrt{2}$，r=2，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了圓方程的求解和數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)直線方程橫過圓內(nèi)定點(diǎn)的理解和應(yīng)用．