Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+1，x≤1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$且方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，作出圖象從而求出a的取值范圍．

解答 解：∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，a表示直線y=ax的斜率，
作函數(shù)f（x）的圖象如右圖，
當(dāng)x＞1時(shí)，當(dāng)y=ax與f（x）=lnx，相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)f′（x）=$\frac{1}{x}$，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），k=$\frac{1}{x_0}$，
∴切線方程為y-y₀=$\frac{1}{x_0}$（x-x₀），而切線過(guò)原點(diǎn)，
∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直線y=ax的斜率為k=$\frac{1}{e}$，
又∵直線l₂與y=$\frac{1}{3}$x+1平行，f（x）與y=ax有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故答案為：[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{e}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．