已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）在如圖坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象，寫出f（x）的單調區(qū)間；
（3）當x∈[0，a]（a＞0）時，求f（x）的最大值．

解：（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=，圖象如圖所示；
（2）由圖象可得，f（x）的單調增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調減區(qū)間是[1，2]．
（3）當0＜a＜1 時，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（a）=a（2-a）；
當1＜a≤2 時，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，此時f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
綜上，當0＜a＜1 時，此時f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）；1＜a≤2 時，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．
分析：（1）利用絕對值的幾何意義，化簡函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)圖象，可寫單調區(qū)間
（3）分類討論，分當0＜a＜1 時，當1＜a≤2 時兩種情況，利用函數(shù)的單調性，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．
點評：本題考查分類討論的數(shù)學思想，和利用單調性求函數(shù)最值的方法，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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