Question

9．若過(guò)點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線與圓x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． k＜-3或k＞2
• B． -3＜k＜2
• C． k＞2
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)構(gòu)成圓的條件得到等號(hào)右邊的式子大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，然后由過(guò)已知點(diǎn)總可以作圓的兩條切線，得到點(diǎn)在圓外，故把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中得到一個(gè)關(guān)系式，讓其大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即為實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+$\frac{1}{2}$k）²+（y+1）²=16-$\frac{3}{4}$k²，
所以16-$\frac{3}{4}$k²＞0，解得：-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$＜k＜$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
又點(diǎn)（1，2）應(yīng)在已知圓的外部，
把點(diǎn)代入圓方程得：1+4+k+4+k²-15＞0，即（k-2）（k+3）＞0，
解得：k＞2或k＜-3，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，-3）∪（2，$\frac{8}{3}\sqrt{3}$）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，二元二次方程為圓的條件及一元二次不等式的解法．理解過(guò)已知點(diǎn)總利用作圓的兩條切線，得到把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程其值大于0是解本題的關(guān)鍵．