Question

12．已知動圓過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）過（1）中軌跡M上的點(diǎn)P（1，2）作兩條直線分別與軌跡M相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）兩點(diǎn)，試探究：當(dāng)直線PC，PD的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，直線CD的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題及拋物線的定義知，軌跡M是以定點(diǎn)（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出動圓圓心的軌跡M的方程．
（2）由點(diǎn)差法求出${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線PD的斜率為-k，從而l_PC：y-2=k（x-1），則由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y-2=k（{x-1}）}\end{array}}\right.⇒k{y^2}-4y-4k+8=0$，從而得到${y_1}=\frac{4}{k}-2$，同理得${y_2}=-\frac{4}{k}-2$，由此能求出直線CD的斜率為定值-1．

解答 解：（1）由題及拋物線的定義知，軌跡M是以定點(diǎn)（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴$\frac{ϕ}{2}=1$，∴ϕ=2，
即動圓圓心的軌跡M的方程為：y²=4x…（4分）
（2）由題知$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=4{x_1}\;\;\;\;①}\\{y_2^2=4{x_2}②}\end{array}}\right.$，
由①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$…（6分）
設(shè)直線PC的斜率為k，則直線PD的斜率為-k，
∴l(xiāng)_PC：y-2=k（x-1），則由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y-2=k（{x-1}）}\end{array}}\right.⇒k{y^2}-4y-4k+8=0$，
∴${y_1}+2=\frac{4}{k}$，∴${y_1}=\frac{4}{k}-2$，
同理得${y_2}=-\frac{4}{k}-2$…（10分）
∴${k_{CD}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4}{{（{\frac{4}{k}-2}）+（{-\frac{4}{k}-2}）}}=-1$，
即直線CD的斜率為定值-1．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查動圓圓心的軌跡方程的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．