Question

y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．

Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)y′=0，求出方程的根，將方程的根的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，即可求出其最大值．

解答：解：∵y=x+2sinx，
∴y′=1+2cosx，x∈[

π

2

，π]，
令y′=1+cosx=0，解得cosx=-

1

2

∈[-1，0]，
當(dāng)cosx∈[-

1

2

，0]，即x∈[

π

2

，

2π

3

]時(shí)，y′=1+2cosx＞0，
∴函數(shù)y=x+2sinx在[

π

2

，

2π

3

]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)cosx∈[-1，-

1

2

]，即x∈[

2π

3

，π]時(shí)，y′=1+2cosx＜0，
∴函數(shù)y=x+2sinx在[

2π

3

，π]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)，函數(shù)y=x+2sinx有最大值為

2π

3

+2×sin

2π

3

=

2π

3

+

3

，
y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．
故答案為：

2π

3

+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．解題中要求能對(duì)基本題初等函數(shù)進(jìn)行正確的求導(dǎo)，要數(shù)學(xué)求導(dǎo)的相關(guān)運(yùn)算．屬于中檔題．