Question

11．為了研究某學科成績是否與學生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高三年級抽取了30名男生和20名女生的該學科成績，得到如圖所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖，規(guī)定80分以上為優(yōu)分（含80分）．

（Ⅰ）（i）請根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補充完整；

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計	20	30	50

（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“該學科成績與性別有關(guān)”？
（Ⅱ）將頻率視作概率，從高三年級該學科成績中任意抽取3名學生的成績，求至少2名學生的成績?yōu)閮?yōu)分的概率．
附：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補充完整，計算觀測值k，對照數(shù)表得出概率結(jié)論；
（Ⅱ）利用頻率視作概率，得出X服從二項分布，求出對應的概率值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補充完整如下：

	優(yōu)分	非優(yōu)分	總計
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計	20	30	50

（2分）
假設(shè)H₀：該學科成績與性別無關(guān)，
則K²的觀測值k=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（9×9-11×21）}^{2}}{20×30×20×30}$=3.125，
因為3.125＞2.706，
所以能在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為該學科成績與性別有關(guān)；（6分）
（Ⅱ）由于有較大的把握認為該學科成績與性別有關(guān)，
因此需要將男女生成績的優(yōu)分頻率f=$\frac{20}{50}$=0.4視作概率；（7分）
設(shè)從高三年級中任意抽取3名學生的該學科成績中，優(yōu)分人數(shù)為X，
則X服從二項分布B（3，0.4），（9分）
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=${C}_{3}^{2}$×0.4²×0.6+${C}_{3}^{3}$×0.4³
=0.352．（12分）

點評 本題主要考查了頻率分布直方圖、莖葉圖、n次獨立重復試驗、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識，也考查了運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識，也考查了必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的應用問題．