Question

若點(diǎn) P，Q分別在函數(shù)y=e^x和函數(shù)y=lnx的圖象上，則P與Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=e^x和函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線y=x對(duì)稱．設(shè)直線y=x+t與y=e^x相切于點(diǎn)P（a，b），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)P，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：函數(shù)y=e^x和函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
設(shè)直線y=x+t與y=e^x相切于點(diǎn)P（a，b），
∵y′=e^x，∴e^a=1，解得a=0，∴b=1．
即切點(diǎn)為P（0，1），到直線y=x的距離d=

|0-1|

2

=

2

2

．
∴P與Q兩點(diǎn)間的距離的最小值是2d=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．