Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P為C₁D₁的中點(diǎn)，則二面角P-AC-D的余弦值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  4

  9

• D、-

  4

  9

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間角

分析：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的余弦值．

解答： 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，1，2），

AC

=（-2，2，0），

AP

=（-2，1，2），
設(shè)平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =-2x+2y=0 n • AP =-2x+y+2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，

1

2

），
由題意知ADC的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

1 2

1+1+ 1 4

=

1

3

，
∴二面角P-AC-D的余弦值是

1

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．