Question

2．已知命題p：?x∈R，kx²+1≤0，命題q：?x∈R，x²+2kx+1＞0．
（1）當(dāng)k=3時，寫出命題p的否定，并判斷真假；
（2）當(dāng)p∨q為假命題時，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=3時，命題p的否定￢p：?x∈R，3x²+1＞0，利用二次函數(shù)的單調(diào)性或?qū)崝?shù)的性質(zhì)即可判斷出真假．
（2）當(dāng)p∨q為假命題時，p與q都為假命題，可得￢p：?x∈R，kx²+1＞0，是真命題，￢q：?x∈R，x²+2kx+1≤0，是真命題．即可得出．

解答 解：命題p：?x∈R，kx²+1≤0，命題q：?x∈R，x²+2kx+1＞0．
（1）當(dāng)k=3時，命題p的否定￢p：?x∈R，3x²+1＞0，是真命題．
（2）當(dāng)p∨q為假命題時，p與q都為假命題，
∴￢p：?x∈R，kx²+1＞0，是真命題，￢q：?x∈R，x²+2kx+1≤0，是真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=0-4k＜0}\end{array}\right.$，或k=0，1＞0；且△=4k²-4≥0，
解得k≥1．
∴實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．