Question

若函數(shù)（a，b∈R），且其導函數(shù)f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0使得f′（x）=-9，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

解：，求導數(shù)，可得f′（x）=x²-（a+1）x+b，…（1分）
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．…（3分）
（Ⅰ）當a=1時，，f′（x）=x（x-2），
∴f（3）=1，f′（3）=3．…（5分）
∴函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），…（6分）
即3x-y-8=0．…（7分）
（Ⅱ）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴，
∴a≤-7，…（10分）
當且僅當x=-3時，a=-7． …（12分）
∴a的最大值為-7． …（14分）
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用導函數(shù)f′（x）的圖象過原點，化簡函數(shù)，進而可求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，再分離參數(shù)，利用基本不等式，即可求得實數(shù)a的最大值．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查分離參數(shù)，基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是正確求出導函數(shù)，屬于中檔題．