Question

18．函數(shù)f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$）在（$\frac{1}{2}$，2）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 先將函數(shù)f（x）=log_a（2-ax）轉(zhuǎn)化為y=log_at，t=1-$\frac{a}{x}$，兩個基本函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答 解：令y=loga^t，t=1-$\frac{a}{x}$，
（1）若0＜a＜1，則y=log_at是減函數(shù)，
由題設(shè)知t=1-$\frac{a}{x}$為增函數(shù)，
則：t′=$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
需a＞0，且1-$\frac{a}{x}$＞0，x∈（$\frac{1}{2}$，2），
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
（2）若a＞1，則函數(shù)y=log_at是增函數(shù)，則t=1-$\frac{a}{x}$為減函數(shù)，
則：t′=$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
需a＜0，無解．
綜上可得實數(shù)a 的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是分解為兩個基本函數(shù)，利用同增異減的結(jié)論研究其單調(diào)性，再求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．