圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),弦AB過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為α
(1)若 sinα=
45
,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng);
(2)若弦AB恰被P平分,求直線(xiàn)AB的方程.
分析:(1)圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),弦AB過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為α,sinα=
4
5
,知k=tanα=
4
3
,或k=tanα=-
4
3
,由此能求出弦長(zhǎng)|AB|.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由弦AB恰被P(-1,2)平分,知
x1+x2=-2
y1+y2=4
,把A(x1,y1),B(x2,y2)分別代入圓x2+y2=8,利用點(diǎn)差法能求出直線(xiàn)AB的方程.
解答:解:(1)∵圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P(-1,2),弦AB過(guò)點(diǎn)P,
且傾斜角為α,sinα=
4
5
,
∴k=tanα=
4
3
,或k=tanα=-
4
3

當(dāng)k=
4
3
時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y-2=
4
3
(x+1)
,即4x-3y+10=0,
圓心(0,0)到直線(xiàn)4x-3y+10=0的距離d=
|0+0+10|
16+9
=2,
圓半徑r=2
2
,
則弦長(zhǎng)|AB|=2
(2
2
)2-22
=4;
當(dāng)k=-
4
3
時(shí),直線(xiàn)AB的方程為y-2=-
4
3
(x+1)
,即4x+3y-2=0,
圓心(0,0)到直線(xiàn)4x+3y-2=0的距離d=
|0+0-2|
16+9
=
2
5

圓半徑r=2
2
,
則弦長(zhǎng)|AB|=2
(2
2
)2-(
2
5
)2
=
28
5

故線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為4或
28
5

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
∵弦AB恰被P(-1,2)平分,∴
x1+x2=-2
y1+y2=4
,
把A(x1,y1),B(x2,y2)分別代入圓x2+y2=8,得
x12+y12=8
x22+y22=8
,
二者相減,得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,
∴k=
y1-y2
x1-x2
=
1
2
,
∴直線(xiàn)AB的方程為y-2=
1
2
(x+1),即x-2y+5=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查直線(xiàn)方程的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用.
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圓x2+y2=8內(nèi)有一點(diǎn)P0(-1,2),AB為過(guò)點(diǎn)P0且傾斜角為α的弦;
(1)當(dāng)a=
4
時(shí),求AB的長(zhǎng);
(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P0平分時(shí),求直線(xiàn)AB的方程.

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x-2y+5=0
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OA
OB
=1
,求直線(xiàn)AB的斜率;
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OA
OB
的取值范圍
[-8,2]
[-8,2]

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