Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}+{a_n}=1（n∈{N^*}）$，S_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，轉(zhuǎn)化求解證明數(shù)列是等差數(shù)列．然后求解通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）證明：∵${a_1}=\frac{3}{4}$，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{{a_1}-1}}=-4，\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{1}{{\frac{1}{{2-{a_n}}}-1}}=\frac{{2-{a_n}}}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-1$，
即$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=-1$．
∴$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是首項(xiàng)為-4，公差為-1的等差數(shù)列．
從而$\frac{1}{{{a_n}-1}}=-n-3⇒{a_n}=1-\frac{1}{n+3}$．
（2）∵${b_n}+{a_n}=1（n∈{N^*}）$，由（1）知${a_n}=1-\frac{1}{n+3}$．
∴${b_n}=\frac{1}{n+3}，{b_k}{b_{k+1}}=\frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+4}$（k=1，2，3，…）
∴${S_n}={b_1}{b_2}+{b_2}{b_3}+…+{b_n}{b_{n+1}}=（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$，
即${S_n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．