Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，則C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{13}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，求出b=3，結(jié)合雙曲線離心率的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=$±\frac{a}x$，即bx-ay=0，
所以焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{bc}{c}=b$，即b=3，
由雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）得a=2，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+4}=\sqrt{13}$，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離求出b的值是解決本題的關(guān)鍵．