Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a＞0）
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）若存在x₀＞0，使f（x₀+a）=f（x₀）+f（a），求a的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a取最小整數(shù)時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明不等式：（1×2×3×…×n）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用極值的定義，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義，可得ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1，從而可得x₀═

a

ae-1

＞0，由此可求a的范圍；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；先證明lnx≤x-1，再累加，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1，
∴f′（x）=

1

x

-a，
∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（2）=

1

2

-a=0，
∴a=

1

2

；
（2）由已知，存在實(shí)數(shù)x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a）（a為常數(shù)），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1
∴l(xiāng)n

x0+a

ax0

=1
∴

x0+a

ax0

=e，
∴x₀=

a

ae-1

＞0
∵a＞0，∴a＞

1

e

；
（3）由（2）知，a=1，g（x）=lnx-x+1，g′（x）=

1-x2

x

（x＞0）
∴x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）的增區(qū)間是（0，1）；
x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）的減區(qū)間是（1，+∞）；
由上知x∈（0，+∞），g（x）≤g（1），即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1
∴l(xiāng)n1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，lnn＜n-1
相加得：ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+（n-1）
即lnn!≤

n(n-1)

2

，
∴（n!）²≤e^n（n-1）（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取“=”號(hào)），
即1×2×3×…×n）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．