Question

3．對于區(qū)間[a，b]上的函數f（x），若存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=${∫}_{a}^$f（x）dx成立，則稱x₀為函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個“積分點”，則函數f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的“積分點”為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{12}$

Answer 1

分析 由“積分點”的定義，結合定積分的運算，得到f（x₀）=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，解得即可．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）dx=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{1}{2}$[sin（π+$\frac{π}{6}$）-sin$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，
由存在x₀∈[a，b]，使得f（x₀）=${∫}_{a}^$f（x）dx成立，
則f（x₀）=cos（2x₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$+2kπ，或2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
∴x₀=$\frac{π}{4}$+kπ，或x₀=$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∵x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴x₀=$\frac{π}{4}$，
故選：B．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查定積分的運算和三角函數求解，以及判斷能力，屬于中檔題．