Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，若$PA=AD=3，CD=\sqrt{6}$
（1）求證：AF⊥平面PCD；
（2）求直線AC與平面PCD所成角的余弦值的大�。�

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AF⊥平面PCD．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{6}$，3，0），利用向量法能求出直線AC與平面PCD所成角的余弦值．

解答 證明：（1）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），F(xiàn)（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），C（$\sqrt{6}$，3，0），
$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{6}$，3，-3），$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-3），
$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{PC}$=0+$\frac{9}{2}-\frac{9}{2}$=0，$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{PD}$=0+$\frac{9}{2}-\frac{9}{2}$=0，
∴AF⊥PC，AF⊥PD，
∵PC∩PD=P，∴AF⊥平面PCD．
解：（2）$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{6}$，3，0），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{6}x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)直線AC與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AC}|}$|=$\frac{3}{\sqrt{15}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴cosθ=$\sqrt{1-\frac{30}{100}}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$．
∴直線AC與平面PCD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．