Question

20．S_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n-1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件等式分n=1與n≥2，利用a_n與S_n的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）首先結(jié)合（1）求得a_n的表達(dá)式，然后利用等差數(shù)列求和公式求解即可．

解答 解：（1）依題意有（a_n+1）²=4S_n，①
當(dāng)n=1時(shí)，（a₁-1）²=0，得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，（a_n-1+1）²=4S_n-1，②
有①-②得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴{a_n}成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵{a_n}成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．