Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）＜|a-$\frac{1}{2}$|的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)化簡f（x）的解析式，畫出它的圖象，根據(jù)數(shù)f（x）的圖象與直線y=5的交點為（-$\frac{4}{3}$，5）、（2，5）．數(shù)形結合可得不等式f（x）≤5的解集．
（2）由題意可得f（x）_min＜|a-$\frac{1}{2}$|，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象可知函數(shù)f（x）的最小值$\frac{5}{2}$，于是|a-$\frac{1}{2}$|＞$\frac{5}{2}$，求得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=|2x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1，x＞2}\\{x+3，-\frac{1}{2}≤x≤2}\\{-3x+1，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）的圖象，它與直線y=5的交點為（-$\frac{4}{3}$，5）、（2，5）．
∴不等式f（x）≤5的解集為[-$\frac{4}{3}$，2]．
（2）若關于x的不等式f（x）＜|a-$\frac{1}{2}$|的解集不是空集，
只要f（x）_min＜|a-$\frac{1}{2}$|即可，
由函數(shù)f（x）的圖象可知，當x=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值$\frac{5}{2}$，
于是|a-$\frac{1}{2}$|＞$\frac{5}{2}$，求得a＞3或a＜-2．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，分段函數(shù)的應用，解絕對值不等式，屬于中檔題．