Question

17．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a_n-2n）（a_n+1）=0，從而得到a_n=2n．
（2）{a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，從而S_n=n²+n，由a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，得4k²=2[（k+2）²+（k+2）]，由此能求出正整數(shù)k．

解答 解：（1）∵正項數(shù)列{a_n}滿足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
∴a_n=2n，或a_n=-1（舍），
∴a_n=2n．
（2）∵a_n=2n，∴{a_n}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n，
∵a₁，a_k，S_k+2成等比數(shù)列，
∴${{a}_{k}}^{2}={a}_{1}•{S}_{k+2}$，
∴4k²=2[（k+2）²+（k+2）]，
整理，得k²-5k-6=0，
k=3或k=-2（舍）．
∴正整數(shù)k為3．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查正整數(shù)的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．