Question

10．已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上無零點，求a最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導函數f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數的單調增區(qū)間，令f′（x）＜0可求出函數單調減區(qū)間，注意與定義域求交集；
（2）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，故要使函數f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上無零點，只要對任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導數研究不等式另一側的最值即可求出a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，
則f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調減區(qū)間為（0，2]，單調增區(qū)間為[2，+∞）．
（Ⅱ）因為f（x）＜0在區(qū)間（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，
故要使函數f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上無零點，只要對任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，
即對x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
則m′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上為減函數，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
從而l（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上為增函數，
所以l（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上無零點，則a的最小值為2-4ln2．

點評 本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的極值，同時考查了轉化的思想和參變量分離的方法以及運算求解的能力，屬于中檔題．