已知定義在實數集R上的函數f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實數.
(1)若函數f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數,在區(qū)間(-1,3)上是減函數,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函數f(x)的表達式;
(2)若a,b,c滿足b2-3ac<0,求證:函數f(x)是單調函數.
分析:(1)因為函數f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數,在區(qū)間(-1,3)上是減函數,則導數在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都大于零,在區(qū)間(-1,3)上小于零,可知,-1和3對應的導數值為0,再由f′(0)=-18,可求得導函數,再利用導函數與原函數間的關系,表示出原函數,再由f(0)=-7求解.
(2)若函數f(x)是單調函數,則導函數對應的方程無根即可,所以下面就轉化為導數是恒大于零還是恒小于零問題求解.
解答:解(1)f′(x)=3ax
2+2bx+c.
由f'(0)=-18得c=-18,即f′(x)=3ax
2+2bx-18.(3分)
又由于f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函數,在區(qū)間(-1,3)上是減函數,
所以-1和3必是f′(x)=0的兩個根.
從而
解得(5分)
又根據f(0)=-7,所以f(x)=2x
3-6x
2-18x-7(7分)
(2)f′(x)=3ax
2+2bx+c由條件b
2-3ac<0可知a≠0,c≠0.(9分)
因為f'(x)為二次三項式,
并且△=(2b)
2-4(3ac)=4(b
2-3ac)<0,
所以,當a>0時,f'(x)>0恒成立,此時函數f(x)是單調遞增函數;
當a<0時,f'(x)<0恒成立,此時函數f(x)是單調遞減函數.
因此,對任意給定的實數a,函數f(x)總是單調函數.(12分)
點評:本題主要考查函數的單調性與導數正負間的關系,當導數大于零時,函數為增函數,當導數小于零時,函數為減函數.