已知
a
b
的模均為2,且|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|
,其中m>0
(1)用m表示
a
b
; 
(2)求
a
b
的最小值及此時(shí)
a
b
的夾角.
分析:(1)通過|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|
,列出方程,利用
a
b
的模均為2,即可求出
a
b
; 
(2)結(jié)合(1)利用基本不等式,求
a
b
的最小值,通過數(shù)量積公式直接求出
a
b
的夾角.
解答:解:(1)因?yàn)?span id="oiqqpgg" class="MathJye">
a
b
的模均為2,|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|

所以(m
a
+
b
)•(m
a
+
b
)=3(
a
-m
b
)•(
a
-m
b
)
,
m2
a
2
+
b
2
+2m
a
b
=3
a
2
+3m2
b
2
-6m
a
b
,
即8m
a
b
=8+8m2;
∵m>0
a
b
=m+
1
m

(2)
a
b
=m+
1
m
≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí),
a
b
最小值為2,
此時(shí)
a
b
=|
a
||
b
|cosθ
=2,
∴cosθ=
1
2
,
θ=
π
3
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的數(shù)量積與向量的模的計(jì)算,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•大連一模)已知
a
、
b
均為單位向量,且|
a
+
b
|=
3
,則
a
b
的夾角為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•甘肅一模)(理科)已知球O的表面積為4π,A,B,C三點(diǎn)都在球面上,且A與B、A與C的球面距離均為
π
2
,|BC|=
3
,則球心O到平面ABC的距離為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•普陀區(qū)一模)如圖,已知圓C:x2+y2=r2與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A.由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k,且k為有理數(shù).射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B.
(1)當(dāng)r=1時(shí),試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)r=1時(shí),試證明:點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn);(說明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道,一個(gè)有理數(shù)可以表示為
qp
,其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì))
(3)定義:實(shí)半軸長(zhǎng)a、虛半軸長(zhǎng)b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當(dāng)0<k<1時(shí),是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”,它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成?若能,請(qǐng)嘗試探索其構(gòu)造方法;若不能,試簡(jiǎn)述你的理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知
a
b
的模均為2,且|m
a
+
b
|=
3
|
a
-m
b
|
,其中m>0
(1)用m表示
a
b
; 
(2)求
a
b
的最小值及此時(shí)
a
b
的夾角.

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