Question

已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，動(dòng)直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范圍，并求x₂-x₁的最小值；
（2）記直線P₁A₁的斜率為k₁，直線P₂A₂的斜率為k₂，那么k₁•k₂是定值嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由l與圓相切，知m²=1+k²，由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，所以

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0由此能求出k的取值范圍和x₂-x₁的最小值．
（2）由已知可得A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

．由此能證明k₁•k₂是定值．

解答：解：（1）∵l與圓相切，∴1=

|m|

1+k2

∴m²=1+k²（2分）
由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，∴

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0，∴k²＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范圍為（-1，1）．（5分）
由于x1+x2=

2mk

1-k2

∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

|1-k2|

=

2 2

1-k2

，
∵0≤k²＜1∴當(dāng)k²=0時(shí)，x₂-x₁取最小值2

2

．（7分）
（2）由已知可得A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），
∴k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，∴k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

（10分）
=

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

x1x2+(x2-x1)-1

=

k2• m2+1 k2-1 -mk• 2mk k2-1 +m2

m2+1 k2-1 - 2 2 k2-1 -1

=

m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2

m2+1-2 2 -k2+1

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，
由m²-k²=1，∴k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)為定值．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．