Question

17．設a、b是正實數(shù)，則$\frac{{a}^{3}+^{3}+4}{（a+1）（b+1）}$的最小值等于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先證明a³+1≥$\frac{1}{4}$（a+1）³，b³+1≥$\frac{1}{4}$（b+1）³，當且僅當a=b=1時，取得等號，即有$\frac{{a}^{3}+^{3}+4}{（a+1）（b+1）}$=$\frac{{（a}^{3}+1）+（^{3}+1）+2}{（a+1）（b+1）}$，運用已證結論和三元基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由a，b＞0，4（a³+1）-（a+1）³
=4（a+1）（a²-a+1）-（a+1）³，
=（a+1）[4（a²-a+1）-（a+1）²]
=3（a+1）（a-1）²≥0，當且僅當a=1時，取得等號，
即有a³+1≥$\frac{1}{4}$（a+1）³．
同理可得b³+1≥$\frac{1}{4}$（b+1）³．
即有$\frac{{a}^{3}+^{3}+4}{（a+1）（b+1）}$=$\frac{{（a}^{3}+1）+（^{3}+1）+2}{（a+1）（b+1）}$
≥$\frac{\frac{1}{4}（a+1）^{3}+\frac{1}{4}（b+1）^{3}+2}{（a+1）（b+1）}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{（a+1）^{3}+（b+1）^{3}+{2}^{3}}{（a+1）（b+1）}$
≥$\frac{1}{4}$•$\frac{3•2（a+1）（b+1）}{（a+1）（b+1）}$=$\frac{3}{2}$．
即有a=b=1時，取得最小值$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查最值的求法，注意運用均值不等式和不等式的性質，考查運算能力，屬于難題．