已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=滿足條件:對于任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0);(2) 求證:是奇函數(shù);(3) 若時,,求上的值域.

 

【答案】

(1)f(0)=0;(2)證明見解析;(3)證明見解析;值域[-4,2]。

【解析】本題考點是抽象函數(shù)及其運用,考查靈活賦值求函數(shù)值以及運用恒等式靈活變形證明函數(shù)的單調(diào)性,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方程的根的個數(shù),本題涉及到的考點較多,知識性與技巧性都很強,是知識完善結(jié)合的一個好題.

(1)令令x=y=0,代入恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)即可求得.

(2)通過賦值法可知函數(shù)的奇偶性

(3)根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性然后,利用單調(diào)性得到值域。

(1)f(0)=0;3分

(2)證明略;9分

(3)證明單調(diào)性 13分

值域[-4,2]  15分

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),則不等式f(1)>f(log2x)的解集為
 

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23、已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),滿足兩個條件:①對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy成立;②f'(0)=2.
(1)求函數(shù)的f(x)的表達式;
(2)對任意x1,x2∈[-1,1],求證:|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x),當x>0時,f(x)的圖象是拋物線的一部分,且該拋物線經(jīng)過點(1,0)、(3,0)和(0,3).
(1)求出f(x)的解析式;
(2)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|y=t,x∈R,t∈R},若A∩B有4個元素,求實數(shù)t的取值范圍.

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已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足:(1)f(-x)=f(x);(2)f(4+x)=f(x);若當 x∈[0,2]時,f(x)=-x2+1,則當x∈[-6,-4]時,f(x)等于( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),同時滿足以下三個條件:
①f(-1)=2;②x<0時,f(x)>1;③對任意實數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y);
(1)求f(0),f(-4)的值; 
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥
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的解集.

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