已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=滿足條件:對于任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0);(2) 求證:是奇函數(shù);(3) 若時,,求在上的值域.
(1)f(0)=0;(2)證明見解析;(3)證明見解析;值域[-4,2]。
【解析】本題考點是抽象函數(shù)及其運用,考查靈活賦值求函數(shù)值以及運用恒等式靈活變形證明函數(shù)的單調(diào)性,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方程的根的個數(shù),本題涉及到的考點較多,知識性與技巧性都很強,是知識完善結(jié)合的一個好題.
(1)令令x=y=0,代入恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)即可求得.
(2)通過賦值法可知函數(shù)的奇偶性
(3)根據(jù)定義法證明函數(shù)的單調(diào)性然后,利用單調(diào)性得到值域。
(1)f(0)=0;3分
(2)證明略;9分
(3)證明單調(diào)性 13分
值域[-4,2] 15分
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