Question

18．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2）上的值域．

Answer 1

分析 （1）二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．設(shè)出f（x）=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法求解．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解在[-3，2）上的值域．

解答 解：（1）由題意：設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=2．
∴c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2，
又∵f（x+1）-f（x）=2x+3，
∴a（x+1）²+b（x+1）+2-ax²-bx-2=2x+3，
化簡得：2ax+a+b=2x+3，
由2a=2，a+b=3，
解得：a=1，b=2
故得函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x²+2x+2．
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+2，
開口向上，對稱軸x=-1，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：
函數(shù)f（x）在x∈[-3，-1）上是單調(diào)遞減，在（-1，1）上是單調(diào)遞增．
當x=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值為1；
當x＜2時，函數(shù)f（x）取得值小于10；
f（x）在[-3，2）上的值域為[1，10）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的解析式求法，利用待定系數(shù)法，以及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運用．屬于基礎(chǔ)題．