Question

17．已知數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．當n=1時，a₁=1；當n≥2時，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$，即可得出．
（2）b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．即可得出．

解答 （1）解：∵數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
∴當n=1時，a₁=1；
當n≥2時，$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…$+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$+$\frac{n-1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$=n．
∴a_n=n²．
（2）證明：b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．
∴數列{b_n}的前n項和為S_n≤$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1
∴S_n＜1．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、遞推關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．