Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$，即可得出．
（2）b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$．
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{1}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…$+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$+$\frac{n-1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-$\frac{n-1}{2}$=n．
∴a_n=n²．
（2）證明：b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=$\frac{n+2}{2n+1}$$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$≤$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，（n+2≤2n+1）．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n≤$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1
∴S_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．