Question

8．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=2，A=2B，那么b的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）
• D． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由A=2B$＜\frac{π}{2}$，可得B＜$\frac{π}{4}$．由C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，可得B＞$\frac{π}{6}$，可得：cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），根據(jù)正弦定理可得范圍b=$\frac{1}{cosB}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

解答 解：銳角△ABC中，∵A=2B$＜\frac{π}{2}$，
∴B＜$\frac{π}{4}$．
∵根據(jù)C=π-3B＜$\frac{π}{2}$，可得B＞$\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，可得：cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴根據(jù)正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2sinB}{2sinBcosB}$=$\frac{1}{cosB}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)角和公式、正弦定理，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．