Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1，常數(shù)α為方程f（x）=x的實數(shù)根．
（1）求證：當(dāng)x＞α?xí)r，總有x＞f（x）成立；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為I，對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求證：方程f（x）=x不存在異于α的實數(shù)根．

Answer 1

解：（1）令h（x）=x-f（x），
∵h(yuǎn)'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）為增函數(shù)．
又∵h(yuǎn)（α）=α-f（α）=0，
∴當(dāng)x＞α?xí)r，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假設(shè)方程f（x）=x有異于α的實根β，即f（β）=β，
不妨設(shè)β＞α，則β-α=f（β）-f（α），
由題意在α與β之間必存在一點c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因為α≠β，所以必有f'（c）=1，但這與0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在異于α的實數(shù)根．
分析：（1）欲比較x與f（x）的大小，先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-f（x），根據(jù)條件可知h（x）為增函數(shù)，求出h（x）在（α，+∞）上的最小值即可；
（2）用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)方程f（x）=x有異于α的實根β，由題意在α與β之間必存在一點c，α＜c＜β，使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，而α≠β，所以必有f'（c）=1，但這與0＜f'（x）＜1矛盾，得到結(jié)論．
點評：本題要求會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，以及考查反證法的運(yùn)用，屬于中檔題．