Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{{lnx-a{x^2}}}（a∈$R）．
（1）當a=0時，求函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意x∈（1，e），不等式f（x）＞1恒成立，求 a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}（x＞0$且$x≠1），f'（x）=\frac{{2xlnx-x+\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}$，令$g（x）=2xlnx-x+\frac{1}{x}，g'（x）=2lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）問題等價于$\left\{\begin{array}{l}lnx-a{x^2}＞0\\{x^2}-1＞lnx-a{x^2}\end{array}\right.$對于任意 x∈（1，e）恒成立，$lnx-a{x^2}＞0?a＜\frac{lnx}{x^2}$，由此能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=0時，$f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{lnx}（x＞0$且$x≠1），f'（x）=\frac{{2xlnx-x+\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}$，
令$g（x）=2xlnx-x+\frac{1}{x}，g'（x）=2lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$，
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在 （0，1）上單調(diào)遞減，在 （1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x＞0且x≠1時，g（x）＞g（1）=0，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在 （0，1）上單調(diào)遞增，在 （1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）∵x∈（1，e），∴x²-1＞0，
∴問題等價于$\left\{\begin{array}{l}lnx-a{x^2}＞0\\{x^2}-1＞lnx-a{x^2}\end{array}\right.$對于任意 x∈（1，e）恒成立，
$lnx-a{x^2}＞0?a＜\frac{lnx}{x^2}$，
令$h（x）=\frac{lnx}{x^2}，h'（x）=\frac{1-2lnx}{x^3}，h'（x）＞0?1＜x＜\sqrt{e}；h'（x）＜0?\sqrt{e}＜x＜e$，
∴h（x）在$（{1，\sqrt{e}}）$上單調(diào)遞增，在 $（{\sqrt{e}，e}）$上單調(diào)遞減，
∴$h（x）∈（{0，\frac{1}{2e}}]$，∴a≤0，${x^2}-1＞lnx-a{x^2}?a＞\frac{{lnx-{x^2}+1}}{x^2}$，
令$φ（x）=\frac{{lnx-{x^2}+1}}{x^2}，φ'（x）=\frac{-1-2lnx}{x^3}＜0$，
∴φ（x）在$（{1，\sqrt{e}}）$上單遞減，∴$φ（x）∈（{\frac{2}{e^2}-1，0}）$，
∴a≥0，綜上所述，a的取值范圍為{0}．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．