已知函數(shù)f(x)=
lnx
1+x
-lnx,則有下列結(jié)論中錯誤的是(  )
A、?x0∈R,f(x)=0
B、若x0是f(x)的最大值點,則f(x0)=x0
C、若x0是f(x)的最大值點,則f(x0)<
1
2
D、若x0是f(x)的極大值點,則f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:先求函數(shù)f(x)=
lnx
1+x
-lnx的定義域為(0,+∞),再求導(dǎo)并化簡f′(x)=
1
x
1
1+x
-1)-lnx
1
(1+x)2
=-
lnx+x+1
(1+x)2
;從而對四個選項判斷即可.
解答: 解:函數(shù)f(x)=
lnx
1+x
-lnx的定義域為(0,+∞),
f′(x)=
1
x
1
1+x
-1)-lnx
1
(1+x)2

=-
lnx+x+1
(1+x)2
;
∵f(1)=0,故A正確;
∵令y=lnx+x+1,
則存在x0∈(0,
1
2
),使lnx0+x0+1=0;
又∵y=lnx+x+1是增函數(shù),
故函數(shù)f(x)=
lnx
1+x
-lnx在(0,x0)上是增函數(shù),在(x0,+∞)上是減函數(shù);
故當(dāng)x=x0時,f(x)有最大值為f(x0)=ln(x0)(
1
1+x0
-1)=x0;故B正確;
由以上分析知,C正確;
D不正確;
故選D.
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=log2(x+1)的定義域為(  )
A、(0,+∞)
B、[-1,+∞)
C、(-1,+∞)
D、(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖正方形BCDE的邊長為a,已知AB=
3
BC,將△ABE沿BE邊折起,折起后A點在平面BCDE上的射影為D點,則翻折后的幾何體中有如下描述:
①AB與DE所成角的正切值是
2
;
②AB∥CE;
③VB-ACE的體積是
1
6
a2;
④平面ABC⊥平面ADC;
⑤直線EA與平面ADB所成角為30°.
其中正確的有
 
.(填寫你認(rèn)為正確的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司研發(fā)甲、乙兩種新產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測,甲產(chǎn)品的利潤y(單位:萬元)與投資x(單位:萬元)滿足:f(x)=alnx-bx+3(a,b∈R,a,b為常數(shù)),且曲線y=f(x)與直線y=kx在(1,3)點相切;乙產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,且其圖象經(jīng)過點(4,4).
(I)分別求甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤與投資資金間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)已知該公司已籌集到40萬元資金,并將全部投入甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā),每種產(chǎn)品投資均不少于10萬元.問怎樣分配這40萬元投資,才能使該公司獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
(參考數(shù)據(jù):ln=10=2.303,ln15=2.708,ln20=2.996,ln25=3.219,ln30=3.401)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,一簡單幾何體ABCDE的一個面ABC內(nèi)接于圓O,G、H分別是AE、BC的中點,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,且DC⊥平面ABC.
(Ⅰ)證明:GH∥平面ACD;
(Ⅱ)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x2+6<5x,y=x2+5x+6,則有( 。
A、y為任意實數(shù)
B、0<y<20
C、20<y<30
D、y>30

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某專營店經(jīng)銷某商品,當(dāng)售價不高于10元時,每天能銷售100件,當(dāng)價格高于10元時,每提高1元,銷量減少3件,若該專營店每日費用支出為500元,用x表示該商品定價,y表示該專營店一天的凈收入(除去每日的費用支出后的收入).
(1)把y表示成x的函數(shù);
(2)試確定該商品定價為多少元時,一天的凈收入最高?并求出凈收入的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,以A,B為焦點的雙曲線過點C,則雙曲線的離心率為(  )
A、1+
2
B、1+
3
C、
1+
2
2
D、
1+
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:x2+y2+2x-3=0.
(1)求過點P(1,3)且與圓C相切的直線方程;
(2)問是否存在斜率為1的直線l,使以l被圓C截得的弦AB為直線的圓經(jīng)過原點?若存在,請求出的方程;若不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案