Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過橢圓右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓所得的弦的弦長為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，過點(diǎn)A的直線與橢圓W交于另一點(diǎn)C，
（Ⅰ）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅱ）當(dāng)AC的斜率為$\frac{1}{3}$時(shí)，求線段AC的長；
（Ⅲ）設(shè)D是AC的中點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰過點(diǎn)D，求直線AC的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用離心率公式，將x=$\sqrt{6}$k代入橢圓方程，求得弦長，解方程可得k，進(jìn)而得到a，b，可得橢圓方程；
（Ⅱ）求得AC的方程，代入橢圓方程，求得C的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到所求值；
（Ⅲ）依題意，設(shè)直線AC的方程為y=kx-1，k≠0．代入橢圓方程，求得C，D的坐標(biāo)，再由以AB為直徑的圓恰過點(diǎn)D，|OD|=1，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求斜率．

解答 解：（Ⅰ）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，設(shè)a=3k（k＞0），則c=$\sqrt{6}$k，b=$\sqrt{3}$k，
所以橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{9{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{k}^{2}}$=1，
把x=$\sqrt{6}$k代入橢圓方程，
解得y=±k，于是2k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）由已知A（0，-1），
直線AC的方程為y=$\frac{1}{3}$x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$得2x²-3x=0，解得x=$\frac{3}{2}$或x=0（舍），
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
所以|AC|=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
（Ⅲ）依題意，設(shè)直線AC的方程為y=kx-1，k≠0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$得（1+3k²）x²-6kx=0，
解得x=$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$或x=0（舍），所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀=$\frac{3k}{3{k}^{2}+1}$，
y₀=kx₀-1=$\frac{-1}{3{k}^{2}+1}$，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰過點(diǎn)D，所以|OD|=1，
即（$\frac{3k}{1+3{k}^{2}}$）²+（$\frac{-1}{1+3{k}^{2}}$）²=1．
整理得k²=$\frac{1}{3}$，
所以k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和弦長的求法，考查直線方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題．