Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）函數(shù)為上的單調(diào)遞增，證明見解析；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性得，進(jìn)而得出結(jié)論．

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，通過單調(diào)性的定義法的五步①設(shè)元②作差③變形④定號(hào)⑤下結(jié)論．

（3）因?yàn)?/span>，，所以，分，兩種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，進(jìn)而得出結(jié)論．

解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

因?yàn)?/span>，所以，即定義域?yàn)?/span>

從而對(duì)任意的，，

所以為奇函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

結(jié)論：函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)．

證明：設(shè)對(duì)任意的，，且，

則

，

因?yàn)?/span>，所以，即，

又因?yàn)?/span>，，，

所以，

于是，即函數(shù)為上的單調(diào)遞增．

（3）因?yàn)?/span>，所以，從而，

由，知，所以，

因?yàn)?/span>，所以或．

當(dāng)時(shí)，由（2）知，函數(shù)為上單調(diào)遞增函數(shù)．

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的取值范圍是

所以，即，

從而關(guān)于的方程 有兩個(gè)互異實(shí)數(shù)根．

令，則，所以方程，有兩個(gè)互異實(shí)數(shù)根

，從而．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞減．

若，則，于是，這與矛盾，故舍去．

若，則，于是，即，

所以，兩式相減整理得，，

又，故，從而，因?yàn)?/span>，所以．

綜上可得，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，．