Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，PC與底面ABCD所成的角的正切值為，E為PD的中點．
（1）求二面角E-AC-D的大�。�
（2）在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為．若存在，確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解法一（幾何法）（1）由已知可得BC⊥AB，又BC⊥PB由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，則BC⊥PA．同理CD⊥PA，再中線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD．∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，設M為AD中點，連接EM，又E為PD中點，可得EM∥PA，從而EM⊥底面ABCD．過 M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．則∠ENM為二面角E-AC-D的平面角，解Rt△EMN可得二面角E-AC-D的大�。�
（2）若點E到平面PAF的距離為，則點D到平面PAF的距離為．過 D作AF的垂線DG，垂足為G，可得DG為點D到平面PAF的距離設BF=x，由△ABF∽△DGA求出x的值，進而得到結論．
解法二（向量法）（1）建立空間直角坐標系A-xyz，求出平面AEC的一個法向量，和平面ACD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角E-AC-D的大�。�
（2）設F（2，t，0）（0≤t≤2），求出平面PAF的一個法向量，代入點E到平面PAF的距離d=，構造方程求出t值，可得結論．
解答：解法一：（1）∵底面ABCD為正方形，
∴BC⊥AB，又BC⊥PB，AB∩PB=B
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．
同理可證CD⊥PA，由BC∩CD=C
∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，
∴PA=2                …（2分）
設M為AD中點，連接EM，又E為PD中點，可得EM∥PA，
從而EM⊥底面ABCD．過 M作AC的垂線MN，垂足為N，連接EN．
由三垂線定理有EN⊥AC，∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角．…（4分）
在Rt△EMN中，可求得EM=1，MN=
∴tan∠ENM==．
∴二面角E-AC-D的大小為arctan．                          …（6分）
（2）由E為PD中點可知，要使得點E到平面PAF的距離為，即要點D到平面PAF的距離為．
過 D作AF的垂線DG，垂足為G，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAF⊥平面ABCD，∴DG⊥平面PAF，
即DG為點D到平面PAF的距離．…9分
∴DG=，∴AG=． 設BF=x，由△ABF∽△DGA可得AB：BF=DG：GA，∴2：x=2：1，即x=1．∴在線段BC上存在點F，且F為BC中點，使得點E到平面PAF的距離為．                                              …（12分）
解法二：（1）∵底面ABCD為正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PA．同理可證CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD．
∴∠PCA為直線PC與底面ABCD所成的角，
∴PA=2  …（2分）
建立如圖的空間直角坐標系A-xyz，A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），E（0，1，1）
設=（x，y，z）為平面AEC的一個法向量，則⊥，⊥．
又=（0，1，1），=（2，2，0），
∴  令x=1則=（1，-1，1）…（4分）
又=（0，0，2）是平面ACD的一個法向量，
設二面角E-AC-D的大小為 θ，
則cosθ=cos＜，＞==．
∴二面角E-AC-D的大小為arccos．（6分）
（2）解：設F（2，t，0）（0≤t≤2），=（a，b，c）為平面PAF的一個法向量，
則⊥，⊥．又=（0，0，2），=（2，t，0）
∴ 令a=t則b=-2，c=0得=（t，-2，0）．             …（9分）
又=（0，1，1），∴點E到平面PAF的距離d==，
∴=，解得t=1，即F（2，1，0），∴在線段BC上存在點F，使得點E到平面PAF的距離為，且F為BC中點                           …（12分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，點到平面的距離，其中解法一的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉化，解法二的關鍵是建立適當的空間坐標系，將空間線面關系轉化為向量夾角問題．