Question

已知數(shù)列  {a_n}的各項取倒數(shù)后按原來順序構成等差數(shù)列，各項都是正數(shù)的數(shù)列 {x_n}滿足 x₁=3，x₁+x₂+x₃=39，． x_n^a_n=

x

an+1 n+1

=

x

an+2 n+2

，則 x_n=

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題設條件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

，由此導出x_n+1²=x_nx_n+2，所以數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，
再根據(jù)等比數(shù)列的定義，求出通項即可

解答： 解：∵數(shù)列{x_n}中各項都是正數(shù)，
∴a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
設a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，
∴

p

an

=lgx_n，

p

an+1

=lgx_n+1，

p

an+2

=lgx_n+2，
∵{a_n}的各項取倒數(shù)后按原來順序構成等差數(shù)列，故a_n≠0，

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

．
∴

2p

an+1

=

p

an

+

p

an+2

．
∴2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，
∴l(xiāng)gx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
∴x_n+1²=x_nx_n+2，
∴數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列．
設{x_n}的公比為q，x₁+x₂+x₃=39，x₁=3，
∴3+3q+3q²=39，
解得q=3，或q=-4（舍去）
∴x_n=3×3^n-1=3ⁿ．
故答案為：3ⁿ．

點評：本題考查了數(shù)列的通項公式的求法，本題的關鍵是求證{x_n}為等比數(shù)列，屬于中檔題