Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程3x²+5x-2=0的兩根，且α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）通過(guò)方程的根，求出α、β的正切函數(shù)值，利用兩角和的正切函數(shù)，求出正切函數(shù)值，通過(guò)角的范圍，求cos（α-β）的值；
（2）利用（1）的結(jié)果求出α+β的正切函數(shù)值，通過(guò)角的范圍求解角的大小即可．

解答： 解：（1）一元二次方程3x²+5x-2=0的兩根為-2和

1

3

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴tanβ=-2，tanα=

1

3

--（2分）
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=7，
α-β∈(-π，-

π

2

)
∴cos（α-β）=-

cos2(α-β) cos2(α-β)+sin2(α-β)

=-

1 1+tan2(α-β)

=-

2

10

-------（6分）
（2）∵tanβ=-2，tanα=

1

3

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1，-----------------------（8分）
∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴α+β∈(

π

2

，

3π

2

)------（10分），
∴α+β=

3π

4

--------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：不考查兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，注意角的范圍的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．