Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠DPA=α，∠CPB=β． 
（1）求

PD

•

PC

最小值，并指出此時(shí)P點(diǎn)位置；
（2）求y=tan∠DPC取得最大值時(shí)

PD

•

PC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（I）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，分別寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C，D，P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得出；
（II）利用兩角和的正切公式，結(jié)合基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
則A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，1），
令P（x，0），0≤x≤3
有

PD

=（-x，1），

PC

=（3-x，2）
所以

PD

•

PC

=x²-3x+2=（x-1.5）²-0.25，…（3分）
當(dāng)x=1.5時(shí)，

PD

•

PC

最小
此時(shí)P（1.5，0）為線段AB中點(diǎn)…（6分）
（2）由（1）知，

PD

•

PC

=x²-3x+2，tanα=

1

x

，tanβ=

2

3-x

…（8分）
∵∠DPC=π-β-α，
∴tan∠DPC=-tan（α+β）=

x+3

x2-3x+2

=

1

x+3+ 20 x+3 -9

≤

1

4 5 -9

=-（4

5

+9）（0≤x≤3），
當(dāng)且僅當(dāng)x+3=2

5

，即x=2

5

-3時(shí)取到等號(hào)，…（10分）
此時(shí)

PD

•

PC

=x²-3x+2=40-18

5

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)量積和二次函數(shù)的單調(diào)性、兩角和的正切公式、基本不等式是解題的關(guān)鍵．