Question

 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過點(diǎn)F₂的動直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)

（Ⅰ）若動點(diǎn)M滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程

（Ⅱ）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （文）解：（1）由條件可知：    

代入所給遞推公式得 

整理得 又                

∴為首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列  ∴                     （6分）

(2)    ∵  ∴  即     （9分）

又

        ∴    即        （12分）

（理）解(1)設(shè)      則   

             由

得    即                           （2分）

于是的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 當(dāng)不與軸垂直時(shí)

∵在雙曲線上      ∴  ①          ②

①-②得  ∴                               （4分）

∵        ∴

化簡得      當(dāng)與軸垂直時(shí)， 求得也滿足上述方程       ∴點(diǎn)的軌跡方程是                      （6分）

 (2)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).

當(dāng)不與軸垂直時(shí)設(shè)的方程為,  代入

有則     

于是

       

                      （10分）

因?yàn)?sub>是與無關(guān)常數(shù),所以   即此時(shí)

當(dāng)與軸垂直時(shí)點(diǎn)，  點(diǎn)此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).                                              （12分）