Question

已知函數(shù)f（x）=1n（-x）+ax-

1

x

（a為常用數(shù)），在x=-1時(shí)取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（-x）+2x，若方程g（x）-b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′(x)=

1

x

+a+

1

x2

，（x＜0）．由于f（x）在x=-1時(shí)取得極值，可得f′（1）=0，解出a再經(jīng)驗(yàn)證即可．
（II）g（x）=f（-x）+2x=lnx+2x+

1

x

，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值．方程g（x）-b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=g（x）與y=b的圖象由兩個(gè)不同的交點(diǎn)?b＞g（x）_min．

解答： 解：（I）f′(x)=

1

x

+a+

1

x2

，（x＜0）．
∵f（x）在x=-1時(shí)取得極值，∴f′（1）=0，∴a=0．
此時(shí)f′（x）=

x+1

x2

，經(jīng)驗(yàn)證x=-1時(shí)取得極小值．
（II）g（x）=f（-x）+2x=lnx+2x+

1

x

，g′（x）=

1

x

+2-

1

x2

=

2x2+x-1

x2

=

(2x-1)(x+1)

x2

．（x＞0）．
令g′（x）＞0，解得x＞

1

2

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜

1

2

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）≥g(

1

2

)=3-ln2．
∵方程g（x）-b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴b＞3-ln2．
∴b的取值范圍是（3-ln2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、研究方程的實(shí)數(shù)根，考查了推理能力和轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，屬于難題．