Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，E是PB的中點(diǎn)，PD=AD．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求證：PC⊥平面ADE；
（3）求二面角A-ED-B的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由線面垂直得AC⊥PD，由正方形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PC⊥平面ADE．
（3）作輔助線，尋找二面角的平面角，然后根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求出二面角的大�。�

解答： （1）證明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，而PD與BD交于點(diǎn)D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：取PC的中點(diǎn)F，
∵PD=DC，∴PC⊥DF，
∵PD⊥底面ABCD，
∴DC是PC在底面ABCD上的射影，
則PC⊥AD，
∵AD∩DF=D，
∴PC⊥面ADF，
∵E是PB的中點(diǎn)，∴EF∥BC∥AD，即A，E，F(xiàn)，D共面，
∴PC⊥面ADE．
（3）解：設(shè)AC∩BD=O，作OM⊥DE于M，連結(jié)AM，
∵AO⊥面PBD，
∴由三垂線定理，AM⊥DE，
即∠AMO是二面角A-ED-B的平面角，
在Rt△OMD中，OM=ODsin∠MDO=DOsin∠PBD=

2

2

AD×

3

3

=

6

6

AD=

3

3

AO，
在Rt△AOM中，tan∠AMO=

AO

OM

=

3

，
即∠AMO=60°．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面垂直，面面垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，以及二面角的求解方法．