精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈（0，1）時，f（x）=
2x
4x+1
．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式
（2）證明：f（x）在（0，1）上是減函數．
考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法
專題：函數的性質及應用
分析：（1）設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），由已知式子和函數的奇偶性可得；（2）定義法：任取0＜x1＜x2＜1，變形可得f（x2）-f（x1）＜0，可判函數的單調性．
解答： 解：（1）設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）時，f（x）=
2x
4x+1
，
∴f（-x）=
2-x
4-x+1
=
2x
4x+1
，
又∵f（x）為奇函數知，
∴-f（x）=
2x
4x+1
，∴f（x）=-
2x
4x+1
．
∴當x∈（-1，0）時，f（x）=-
2x
4x+1
；
（2）證明：任取0＜x1＜x2＜1，
則f（x2）-f（x1）=
2x2
4x2+1
-
2x1
4x1+1

=
(2x1+x2-1)(2x1-2x2)
(4x1+1)(4x2+1)
，
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1-2x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，2x1+x2-1＞0
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在（0，1）上是減函數．
點評：本題考查函數的單調性的判斷與證明，涉及函數解析式的求解，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，若實數a滿足2f（log2a）+f（log 
1
2
a）≤f（1），則a的取值范圍是（　　）
A、[1，2]
B、（0，
1
2
]
C、（0，2]
D、（-∞，2]

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的通項an=
2n-19
2n-21
，n∈N+，求數列{an}前20項中的最大項與最小項．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
2
x2-
1
3
ex3+ex（x-1）（其中e為自然對數的底數），記f（x）的導函數為f′（x）．
（1）求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：當x＞0時，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2c-b）cosA=acosB．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=lnx-
a
x
．
（1）當a=-2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC內部的一點O，恰使
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，則△OAB，△OAC，△OBC的面積之比為
 
．（結果須化為最簡）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜2π），滿足f（x+
π
3
）=f（x-
π
3
），且部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若α∈（π，2π），且f（
α
3
+
π
12
）+f（
α
3
-
π
12
）=-1，求cosα的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

若{an}是等差數列，首項a1＞0，a1007+a1008＞0，a1007•a1008＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數n是（　�。�
A、2012B、2013
C、2014D、2015

查看答案和解析>>

同步練習冊答案