Question

【題目】如圖，直三棱柱中， 、分別是, 的中點，已知與平面所成的角為， .

（1）證明： ∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）連接，交于點，則為的中點，結(jié)合是的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得∥，利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）根據(jù)勾股定理可得，以為坐標原點， 、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標系，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：連接，交于點

則為的中點

又是的中點，連接

則∥，

因為平面， 平面

所以∥平面

（2）解：易知

則，得

以為坐標原點， 、、為軸、軸、軸建立如圖的空間坐標系，

則， ， ， ， ，

設(shè)是平面的法向量，

則，即，

可取

同理，設(shè)是平面的法向量，則，

可取

從而

故

即二面角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.