【題目】已知點(diǎn),圓,點(diǎn)是圓上一動點(diǎn), 的垂直平分線與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明直線過定點(diǎn),并求面積的最大值.
【答案】(1) .(2) .
【解析】【試題分析】(1)由于,所以的軌跡為橢圓,利用橢圓的概念可求得橢圓方程.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,求得直線的方程,求得其縱截距為,即過.驗(yàn)證當(dāng)斜率不存在是也過.求出三角形面積的表達(dá)式并利用基本不等式求得最大值.
【試題解析】
解:(1)由已知得: ,所以
又,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長軸長等于4的橢圓,
所以點(diǎn)軌跡方程是.
(2)當(dāng)存在時(shí),設(shè)直線, ,則,
聯(lián)立直線與橢圓得,
得,
∴,
∴,所以直線,
所以令,得,
,
所以直線過定點(diǎn),(當(dāng)不存在時(shí)仍適合)
所以的面積 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.
所以面積的最大值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).
(1)確定a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年9月3日,抗戰(zhàn)勝利71周年紀(jì)念活動在北京隆重舉行,受到全國人民的矚目.紀(jì)念活動包括舉行紀(jì)念大會、閱兵式、擁待會和文藝晚會等,據(jù)統(tǒng)計(jì),抗戰(zhàn)老兵由于身體原因,參加紀(jì)念大會、閱兵式、招待會這個(gè)環(huán)節(jié)(可參加多個(gè),也可都不參加)的情況及其概率如下表所示:
(Ⅰ)若m=2n,則從這60名抗戰(zhàn)老兵中按照參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)分層抽取6人進(jìn)行座談,求從參加紀(jì)念活動環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中抽取的人數(shù);
(Ⅱ)某醫(yī)療部門決定從(Ⅰ)中抽取的6名抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行體檢,求這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中, 、分別是, 的中點(diǎn),已知與平面所成的角為, .
(1)證明: ∥平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓x2+=1(0<b<1)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B,過F、B、C三點(diǎn)作圓P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n).
(1)若FC是圓P的直徑,求橢圓的離心率;
(2)若圓P的圓心在直線x+y=0上,求橢圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知被直線, 分成面積相等的四個(gè)部分,且截軸所得線段的長為2.
(1)求的方程;
(2)若存在過點(diǎn)的直線與相交于, 兩點(diǎn),且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐 底面為正方形,已知 ,,點(diǎn) 為線段 上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),點(diǎn) 在線段 上,且 .
(1)求證:;
(2)若 為線段 中點(diǎn),求直線 與平面 所成的角的余弦值.
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【題目】已知數(shù)列,,,具有性質(zhì);對任意,,與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng),給出下列三個(gè)結(jié)論:
①數(shù)列,,,具有性質(zhì);
②若數(shù)列具有性質(zhì),則;
③若數(shù)列,,具有性質(zhì),則.
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ).
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù).)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn), 時(shí),證明: .
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