Question

1．如圖，拋物線E：y²=2px（p＞0）與圓O：x²+y²=8相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．過(guò)劣弧AB上動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l₁，l₂，l₁與l₂相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），代入y²=2px，解p．
（Ⅱ）設(shè)$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，y₁≠0，y₂≠0．切線l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，代入y²=2x，求出$k=\frac{1}{y_1}$，得到l₁方程為$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程為$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，聯(lián)立直線方程組，求出M，利用CD方程為x₀x+y₀y=8，聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$利用韋達(dá)定理，代入$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$可知M（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
代入y²=2px，解得p=1，
（Ⅱ）設(shè)$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，y₁≠0，y₂≠0．
切線l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，
代入y²=2x得$k{y^2}-2y+2{y_1}-ky_1^2=0$，由△=0解得$k=\frac{1}{y_1}$，
∴l(xiāng)₁方程為$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程為$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}\\ y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，
∵CD方程為x₀x+y₀y=8，其中x₀，y₀滿足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$得${x_0}{y^2}+2{y_0}y-16=0$，則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{{2{y_0}}}{x_0}\\{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{x_0}\end{array}\right.$，
代入$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$可知M（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，
代入$x_0^2+y_0^2=8$得$\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$，
考慮到${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，知$x∈[{-4，-2\sqrt{2}}]$．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{x^2}{8}-{y^2}=1$，$x∈[{-4，-2\sqrt{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．