Question

13．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且$\sqrt{{S}_{n}}$是1與a_n的等差中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和，證明：$\frac{2}{3}$＜T_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1時，可求得a₁=1；依題意，4S_n=（a_n+1）²，n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，二式相減，可得a_n-a_n-1=2，從而可求數(shù){a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法可求得$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，于是可求數(shù)列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n，利用放縮法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）n=1時，a₁=1，
n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
又4S_n=（a_n+1）²，
兩式相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，即a_n=2n-1．
（Ⅱ）由$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
故T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1
當n=1時，T₁=$\frac{2}{3}$，
故$\frac{2}{3}$＜T_n＜1（n∈N^*）

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列的遞推式與裂項法求和的應(yīng)用，求得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-1是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．