Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{lnx+x+a}$，若曲線y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$上存在點(diǎn)（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，e²-e+1]
• B． [0，e²+e-1]
• C． [0，e²-e-1]
• D． [0，e²+e+1]

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可以證明f（y₀）=y₀．令函數(shù)f（x）=x，化為a=x²-lnx-x．令h（x）=x²-lnx-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵-1≤sinx≤1，
∴當(dāng)sinx=1時(shí)，y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$取得最大值y=$\frac{e-1}{2}$+$\frac{e+1}{2}$=e，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$取得最小值y=-$\frac{e-1}{2}$+$\frac{e+1}{2}$=1，
即函數(shù)y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$的取值范圍為[1，e]，
若y=$\frac{e-1}{2}$sinx+$\frac{e+1}{2}$上存在點(diǎn)（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀成立，
則y₀∈[1，e]．且f（y₀）=y₀．
若下面證明f（y₀）=y₀．
假設(shè)f（y₀）=c＞y₀，則f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不滿足f（f（y₀））=y₀．
同理假設(shè)f（y₀）=c＜y₀，則不滿足f（f（y₀））=y₀．
綜上可得：f（y₀）=y₀．y₀∈[1，e]．
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{lnx+x+a}$，的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴等價(jià)為$\sqrt{lnx+x+a}$=x，在（0，e]上有解
即平方得lnx+x+a=x²，
則a=x²-lnx-x，
設(shè)h（x）=x²-lnx-x，則h′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
由h′（x）＞0得1＜x≤e，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值，即h（1）=1-ln1-1=0，
當(dāng)x=e時(shí)，h（e）=e²-lne-e=e²-e-1，
則0≤h（x）≤e²-e-1．
則0≤a≤e²-e-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．